머신러닝에서 선형대수는? 뉴런과 뉴런 사이에서 많은 정보를 받는다.
가중치가 존재. $W_0X_0, W_1X_1, W_2X_2...$ 이걸 다 더한다고 하면? 시그마(파란색 동그라미)로 표현된다. 이걸 어떠한 함수에 의해서 값을 주면 output이 된다. 이런 일차방정식에 관한 값이 들어오는구나~ 정도 이해한다.
Andrew Ng이라는 사람의 유튜브 강의를 보면 머신 러닝이 어떤 것인지 이해할 수 있게 된다. Regression (회귀)
$h(x)$ : $x$라는 값을 넣으면, 대략 어떠한 값이 나올 것이다.
이 $h(x)$는 결국 일차방정식 형태로 나오게 되며, 선형대수는 일차방정식의 해법에 관한 것이기 때문에 시사하는 바가 크다.
생각의 표현, 기호
머릿속에 영의정 생각이 있어도 말을 하지 않으면 꽝!
⇒ 위대한 생각을 가지고 있어도 표현하지 않으면 말짱 도루묵!
기호 (symbol, code = 약속)
encode (암호화) / decode (복호화)
사람들은 자주 이야기하는 것에 대한 기호를 만든다. 이에 대한 대표적인 예가 언어와 숫자. symbol과 원래 존재하는 개념은 좀 다르다.
$\sum_{i = 1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + ... + a_n$
$1 + 2 + 3 + ... + 100 = \sum_{i = 1}^{100} a_i$
수학은 기호논리학.
지금까지 인공지능 또는 컴퓨터과학이 달성해 온 가장 중요한 업적은, 우리들의 마음에 과학적 이해를 구축하고 기술할 때 기호라는 개념을 도입한 것이다.
기호: 생각의 표현!
텍스트로 9시에 23명, 10시에 26명, 11시에 27명 ... 을 접수하였습니다.
⇒ 표(table)로 간단하게 표현할 수 있음.
⇒ 그래프(graph)로 표현하기도 함.
⇒ 수식 : $y = 2x + 5$, 유용. $x$에 12를 넣으면 12시에 몇 명이었는지 바로 알 수 있음.
논문의 질을 얘기할 때, 글보다는 그래프나 수식의 경우를 고품질(high-quality) 논문이라고 한다.
추상화(抽象化 : abstraction)
추상화: 여러 가지 사물이나 개념에서공통되는 특성이나 속성따위를 추출하여 파악하는 작용
사과가 어떤 특성을 가지고 있는지를 뽑아내서 이걸 '사과'라고 부르겠다고 하는 것이 추상화.
새 - 깃털이 있고 다리가 둘이며, 하늘을 자유로이 날 수 있는 통틀어 이르는 말. 선형대수학 - (수학) 벡터, 행렬, 행렬식, 벡터공간, 선형사상 따위를 연구하는 학문. 대수학의 한 분야이다. ⇒ 문제와 관련된 핵심 내용만 남기고, 관련 없는 내용을 제거하여 문제를 단순화시키는 과정
상수, 변수 ~ 연산($+-*/$) ~> 실수식($0.5x+\sqrt{2}y$), $f(x)$
실수의 대수법칙
수 집합과 연산
자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수, 복소수 등
덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈
연산에 관한 성질 [법칙]
덧셈: 교환법칙, 결합법칙, 항등원(0), 역원($-a$)
곱셈: 교환법칙, 결합법칙, 항등원(1), 역원($a^-1$)
Field(체)
이게 추상화와는 무슨 관계가 있을까?
수학은 수를 배우는 학문? 우리는 지금껏 함수도 배우고, 미분도 배우고, 수열도 배우고... 이들에 대한 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈은 어떻게 약속할까? 연산에 관한 법칙은 어떻게 될까?
벡터도 수, 행렬도 수, 명제도 수, 함수도 수, 집합도 수! ⇒ 추상화
벡터 (2차원 벡터)
$V = { v | v = (a, b), a \in R, b \in R }$ ($R$은 실수 집합)
$v = (a_1, b_1), w = (a_2, b_2)$ $v + w = (a_1 + a_2, b_1 + b_2)$ $w + v = (a_2 + a_1, b_2 + b_1) = (a_1 + a_2, b_1 + b_2) = v + w$
행렬
행렬 집합에는 덧셈, 곱셈이 없을까?
어떤 연산들이 정의될 수 있을까?
행렬 집합에 대한 연산에서는 어떤 성질이 있을까?
연산은 교환법칙과 결합법칙이 성립할까?
연산에 관한 항등원은 존재할까?
연산에 관한 역원은 존재할까?
수학에서 연구 대상으로 두는 건 모두 '수'라고 추상화하자.
따라서 벡터, 행렬 등도 '수'임!
$f + g = g + f$가 될까? ⇒ $f$도 수라고 보자!
왜 영어와 수학을 공부해야 하는가?
도올 김용옥 선생 ⇒ 영어 수학을 왜 공부해야 하는가?
경험 → 영어
내가 직접 경험하지 않고도 경험하는 건 책으로... 내가 경험해서야만 아는가?
그게 아니라, 다른 사람들이 경험적인 지식을 글에 녹여낸다. 많은 경험들을 꽤 오래전부터 영어로 된 글에 많이 있다. 따라서 영어를 공부해라.
이성 → 수학
이성 - 왜 그렇게 되는지, 새로운 지식을 만들어 낼 수 있는 것
논리를 훈련시키는 것이다.
Mathematics ⇒ Study, Learn
연구하거나 공부하는 '방법', 논리하는 훈련
수학을 잘하면 철학은 빼도 되고, 국사는 꼭 넣어야 한다.
교과목 소개
수학
해석학(Calculus) - 미분, 적분...
대수학(Algebra) - 수를 대신한다 ⇒ 변수, 미지수? ⇒ 방정식
기하학(Geometry) - 원, 구...
선형대수 (Linear Algebra)
기본 주제: 일차연립방정식의 해법
다양한 수학적 도구
행렬
벡터공간
선형변환 등... ⇒ 컴퓨터 그래픽스
ex) pixel 하나하나를 숫자로 넣어 주면 행렬이 된다.
학습 목적 및 학습 방법
학습 목적
지식을 체계화시키는 논리적 사고 능력의 함양
학습 방법
논리의 단계별 이해
논리적 사고의 훈련
수학의 표현 방법의 이해
정의 및 정리
정의(definition): 약속
정리(theorem): 성질
증명(proof): 정리가 참인 것을 밝힘(논리 연습)
자를 대고 직선 그려서 현미경으로 보면 삐뚤빼뚤. 그러나 우리 머릿속에서는 직선이다. (추상화)
강의 구성
전체 - 3부 15강
제1부 일차연립방정식과 행렬
일차연립방정식
행렬과 가우스 소거법
행렬연산
역행렬
행렬식
크래머 공식과 역행렬
제2부 벡터공간과 선형변환
평면벡터와 공간벡터
벡터공간
기저와 차원
선형변환
선형변환과 행렬
제3부 고유값 문제와 벡터의 직교성
고유값과 고유벡터
행렬의 대각화
직교벡터
직교화 과정과 최소자승법
개별 강의
들어가기
맛보기 문제, 학습내용, 학습목표 등
본 강의
주제별 강의 (상세한 강의보다 간단하다)
정리하기
학습내용 정리, 연습문제
상세한 강의 (2015학년도 강의)
섬세하게 잘 만들어진 강의. 본 강의+교재 위주로 해도 좋고, 상세한 강의만 들어도 좋다.
부록 같은 느낌. 듣다가 잘 모르겠으면 들어도 좋다.
수학의 산책
당부 말씀
선형대수의 효과적인 학습 방법?
수학은 새로운 언어를 배우는 것
기호 논리학
정의(definition), 정리(theorem)
논리의 아름다움
실용적인 문제를 잘 풀 수 있다?
남의 논리를 이해할 수 있다!
나의 지식을 논리적으로 표현할 수 있다!
한 학기 동안 즐겁게 공부하자! ^_^
강의 듣기 전 미리 교재를 읽고, 중요 부분을 복습하자.
해당 포스트는 방송통신대학교의 '선형대수' 강의를 들으며 개인 공부 목적으로 메모하였습니다.
