선형대수 - 0. 오리엔테이션

1. 동기

1.1. 인공지능, 머신러닝

• 4차 산업혁명 ⇒ 컴퓨터과학, 인공지능
• 머신러닝에서 선형대수는?
  뉴런과 뉴런 사이에서 많은 정보를 받는다.
  

  

  가중치가 존재. $W_0{X}_0,W_1{X}_1,W_2{X}_2...$ 이걸 다 더한다고 하면? 시그마(파란색 동그라미)로 표현된다.
  이걸 어떠한 함수에 의해서 값을 주면 output이 된다.
  이런 일차방정식에 관한 값이 들어오는구나~ 정도 이해한다.
• Andrew Ng이라는 사람의 유튜브 강의를 보면 머신 러닝이 어떤 것인지 이해할 수 있게 된다.
  Regression (회귀)
  

  

• $h(x)$ : $x$라는 값을 넣으면, 대략 어떠한 값이 나올 것이다.
• 이 $h(x)$는 결국 일차방정식 형태로 나오게 되며, 선형대수는 일차방정식의 해법에 관한 것이기 때문에 시사하는 바가 크다.

 

1.2. 생각의 표현, 기호

• 머릿속에 영의정 생각이 있어도 말을 하지 않으면 꽝!
• ⇒ 위대한 생각을 가지고 있어도 표현하지 않으면 말짱 도루묵!
• 기호 (symbol, code = 약속)
  • encode (암호화) / decode (복호화)
• 사람들은 자주 이야기하는 것에 대한 기호를 만든다. 이에 대한 대표적인 예가 언어와 숫자. symbol과 원래 존재하는 개념은 좀 다르다.
• $\sum _{i=1}^n{a}_i=a_1+a_2+...+a_n$
• $1+2+3+...+100=\sum _{i=1}^{100}{a}_i$
• 수학은 기호논리학.
• 지금까지 인공지능 또는 컴퓨터과학이 달성해 온 가장 중요한 업적은, 우리들의 마음에 과학적 이해를 구축하고 기술할 때 기호라는 개념을 도입한 것이다.
• 기호: 생각의 표현!
  • 텍스트로 9시에 23명, 10시에 26명, 11시에 27명 ... 을 접수하였습니다.
  • ⇒ 표(table)로 간단하게 표현할 수 있음.
  • ⇒ 그래프(graph)로 표현하기도 함.
  • ⇒ 수식 : $y=2x+5$, 유용. $x$에 12를 넣으면 12시에 몇 명이었는지 바로 알 수 있음.
  • 논문의 질을 얘기할 때, 글보다는 그래프나 수식의 경우를 고품질(high-quality) 논문이라고 한다.

 

1.3. 추상화(抽象化 : abstraction)

• 추상화: 여러 가지 사물이나 개념에서 공통되는 특성이나 속성 따위를 추출하여 파악하는 작용
• 사과가 어떤 특성을 가지고 있는지를 뽑아내서 이걸 '사과'라고 부르겠다고 하는 것이 추상화.
• 새 - 깃털이 있고 다리가 둘이며, 하늘을 자유로이 날 수 있는 통틀어 이르는 말.
  선형대수학 - (수학) 벡터, 행렬, 행렬식, 벡터공간, 선형사상 따위를 연구하는 학문. 대수학의 한 분야이다.
  ⇒ 문제와 관련된 핵심 내용만 남기고, 관련 없는 내용을 제거하여 문제를 단순화시키는 과정
• 상수, 변수 ~ 연산($+-\ast /$) ~> 실수식($0.5x+\sqrt{2}y$), $f(x)$
• 실수의 대수법칙
  • 수 집합과 연산
    • 자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수, 복소수 등
    • 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈
  • 연산에 관한 성질 [법칙]
    • 덧셈: 교환법칙, 결합법칙, 항등원(0), 역원($-a$)
    • 곱셈: 교환법칙, 결합법칙, 항등원(1), 역원($a^{-}1$)
  • Field(체)
• 이게 추상화와는 무슨 관계가 있을까?
  • 수학은 수를 배우는 학문? 우리는 지금껏 함수도 배우고, 미분도 배우고, 수열도 배우고...
    이들에 대한 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈은 어떻게 약속할까? 연산에 관한 법칙은 어떻게 될까?
  • 벡터도 수, 행렬도 수, 명제도 수, 함수도 수, 집합도 수! ⇒ 추상화
  • 벡터 (2차원 벡터)
    • $V=v|v=(a,b),a\in R,b\in R$ ($R$은 실수 집합)
    • $v=(a_1,b_1),w=(a_2,b_2)$
      $v+w=(a_1+a_2,b_1+b_2)$
      $w+v=(a_2+a_1,b_2+b_1)=(a_1+a_2,b_1+b_2)=v+w$ 
  • 행렬
    • 행렬 집합에는 덧셈, 곱셈이 없을까?
      • 어떤 연산들이 정의될 수 있을까?
    • 행렬 집합에 대한 연산에서는 어떤 성질이 있을까?
      • 연산은 교환법칙과 결합법칙이 성립할까?
      • 연산에 관한 항등원은 존재할까?
      • 연산에 관한 역원은 존재할까?
  • 수학에서 연구 대상으로 두는 건 모두 '수'라고 추상화하자.
  • 따라서 벡터, 행렬 등도 '수'임!
  • $f+g=g+f$가 될까? ⇒ $f$도 수라고 보자!

 

1.4. 왜 영어와 수학을 공부해야 하는가?

• 도올 김용옥 선생 ⇒ 영어 수학을 왜 공부해야 하는가?
• 경험 → 영어
  • 내가 직접 경험하지 않고도 경험하는 건 책으로... 내가 경험해서야만 아는가?
  • 그게 아니라, 다른 사람들이 경험적인 지식을 글에 녹여낸다. 많은 경험들을 꽤 오래전부터 영어로 된 글에 많이 있다. 따라서 영어를 공부해라.
• 이성 → 수학
  • 이성 - 왜 그렇게 되는지, 새로운 지식을 만들어 낼 수 있는 것
  • 논리를 훈련시키는 것이다.
  • Mathematics ⇒ Study, Learn
  • 연구하거나 공부하는 '방법', 논리하는 훈련
• 수학을 잘하면 철학은 빼도 되고, 국사는 꼭 넣어야 한다.

 

 

2. 교과목 소개

• 수학
  • 해석학(Calculus) - 미분, 적분...
  • 대수학(Algebra) - 수를 대신한다 ⇒ 변수, 미지수? ⇒ 방정식
  • 기하학(Geometry) - 원, 구...
• 선형대수 (Linear Algebra)
  • 기본 주제: 일차연립방정식의 해법
  • 다양한 수학적 도구
    • 행렬
    • 벡터공간
    • 선형변환 등... ⇒ 컴퓨터 그래픽스
      • ex) pixel 하나하나를 숫자로 넣어 주면 행렬이 된다.

 

 

3. 학습 목적 및 학습 방법

• 학습 목적
  • 지식을 체계화시키는 논리적 사고 능력의 함양
• 학습 방법
  • 논리의 단계별 이해
  • 논리적 사고의 훈련
  • 수학의 표현 방법의 이해
• 정의 및 정리
  • 정의(definition): 약속
  • 정리(theorem): 성질
  • 증명(proof): 정리가 참인 것을 밝힘(논리 연습)
  • 자를 대고 직선 그려서 현미경으로 보면 삐뚤빼뚤. 그러나 우리 머릿속에서는 직선이다. (추상화)

 

 

4. 강의 구성

• 전체 - 3부 15강
  • 제1부 일차연립방정식과 행렬
    • 일차연립방정식
    • 행렬과 가우스 소거법
    • 행렬연산
    • 역행렬
    • 행렬식
    • 크래머 공식과 역행렬
  • 제2부 벡터공간과 선형변환
    • 평면벡터와 공간벡터
    • 벡터공간
    • 기저와 차원
    • 선형변환
    • 선형변환과 행렬
  • 제3부 고유값 문제와 벡터의 직교성
    • 고유값과 고유벡터
    • 행렬의 대각화
    • 직교벡터
    • 직교화 과정과 최소자승법
• 개별 강의
  • 들어가기
    • 맛보기 문제, 학습내용, 학습목표 등
  • 본 강의
    • 주제별 강의 (상세한 강의보다 간단하다)
  • 정리하기
    • 학습내용 정리, 연습문제
  • 상세한 강의 (2015학년도 강의)
    • 섬세하게 잘 만들어진 강의. 본 강의+교재 위주로 해도 좋고, 상세한 강의만 들어도 좋다.
    • 부록 같은 느낌. 듣다가 잘 모르겠으면 들어도 좋다.
  • 수학의 산책

 

 

5. 당부 말씀

선형대수의 효과적인 학습 방법?

• 수학은 새로운 언어를 배우는 것
  • 기호 논리학
  • 정의(definition), 정리(theorem)
• 논리의 아름다움
  • 실용적인 문제를 잘 풀 수 있다?
  • 남의 논리를 이해할 수 있다!
  • 나의 지식을 논리적으로 표현할 수 있다!
• 한 학기 동안 즐겁게 공부하자! ^_^
• 강의 듣기 전 미리 교재를 읽고, 중요 부분을 복습하자.

 

 

해당 포스트는 방송통신대학교의 '선형대수' 강의를 들으며 개인 공부 목적으로 메모하였습니다.