
학습개요
- 일차연립방정식에 관하여 학습한다.
- 기본적인 일차방정식의 풀이 방법을 공부한다.
- 유일한 해를 갖는 경우, 무수히 많은 해를 갖는 경우(부정), 해를 갖지 못하는 경우(불능) 등 세 가지 경우가 있다는 점에 유의한다.
- n원 일차연립방정식이 무엇인지 배우고, 이것을 풀기 위해 사용되는 소거법에 관해 학습한다. 소거법은 '방정식에 관한 3가지 기본 연산'을 이용한다.
- 2원 일차연립방정식을 예로 들어, 유일한 해를 갖는 경우, 불능의 경우, 부정인 경우 각각에 대해 그래프를 이용하여 기하학적인 의미를 확인한다.
- 일차연립방정식의 활용 예제를 배운다.
학습목표
- 간단한 일차방정식 $ax = b$가 어떤 경우에 유일한 해를 갖는지, 불능이 되는지, 부정이 되는지를 설명할 수 있다.
- 일차연립방정식에서 사용되는 기본 용어(계수, 미지수, 상수, 해, 부정, 불능 등)에 대해 설명할 수 있다.
- '방정식에 관한 3가지 기본 연산'이 무엇인지 설명할 수 있다.
- 간단한 1원 일차연립방정식을 풀 수 있고, 해당 방정식을 2차원 평면에 그래프로 그려 기하학적인 의미를 설명할 수 있다.
들어가기
맛보기 문제 (1) : 비행기 속도
서울에서 500km 떨어져 있는 곳(타슈켄트). 서울에서 갈 때는 6.5시간, 서울로 올 때는 5.0시간?
바람까지 포함한 속력을 생각해 본다.
x : 비행기 속도 - 음수가 될 수 없고
y : 바람 속도 - 비행기와 같은 방향으로 불 때는 양수, 다른 방향으로 불 때는 음수
⇒ 일차연립방정식
$\begin{cases} 6.25(x-y) = 5000 \\ \quad\ 5(x+y) = 5000 \end{cases}$
$\begin{cases} x-y = 800 \\ x+y = 1000 \end{cases}$
두 식을 더하면 $2x = 1800$ $\therefore x = 900km/h$, $y = x - 800 = 900 - 800 = 100 km/h$
맛보기 문제 (2) : regression (회귀 분석)
- Machine Learning에서 선형대수
- Polynomial(다항식) Curve Fitting
평면에서 세 점 $(1, 4), (2, 0), (3, 12)$을 지나는 2차 곡선을 구하시오.
$y = ax^2 + bx + c$
$a + b + c = 4$ (1, 4를 대입)
세 점을 찍었을 때, 1차 직선으로 Curve Fitting하는 건 어려울 듯하다. ⇒ 2차 곡선으로!
2차 곡선 : $p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2$
$\begin{cases} p(1) = a_0 + a_1 + a_2 = 4 \\ p(2) = a_0 + 2a_1 + 4a_2 = 0 \\ p(3) = a_0 + 3a_1 + 9a_2 = 12 \end{cases}$
⇒ $a_0, a_1, a_2$가 미지수인 일차연립방정식을 풀면 된다.
$a_0 = 24, a_1 = -28, a_2 = 8$
$p(x) = 24 - 28x + 8x^2$
학습목표
다음을 설명할 수 있다.
- 일차방정식 ax = b의 해법
- n원 일차연립방정식
- 일차연립방정식의 계수, 상수, 미지수, 해
- 소거법
- 방정식에 관한 3가지 기본 연산
- 일차연립방정식 해의 기하학적 의미
- 일차연립방정식의 응용 사례
학습내용
일차연립방정식
- $ax = b$
$\begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases}$
두 식을 빼면... $2y = 2$ ⇒ $ax = b$
$ax = b$ ⇒ $x = {{b}\over{a}}$ , $x = a^{-1}b$
- $ax = b$
- a : 계수(coefficient)
- x : 미지수(unknown)
- b : 상수(constant)
- 이 방정식에 맞는 x : 해 (solution) = 근
- $x = {b \over a}$ ⇒ 만약 $a$가 0이라면?
- 좋은 프로그래머는 사실 초년생 프로그래머와 다를 게 없다. 문제 해결할 때는 99% 비슷하나, 예외 처리 능력이 있느냐 없느냐가 고급 프로그래머의 경험으로부터 나온다. 좋은 프로그래머가 되기 위해서는 경우의 수를 잘 생각해 봐야 한다.
- $a \neq 0$인 경우
- $a^{-1}$ 가 존재 ⇒ $a^{-1}ax = a^{-1}b$ ⇒ $x = a^{-1}b$ (유일한 해)
- $a = 0$인 경우, $ax$는 무조건 0이 된다 ⇒ 두 가지 경우! $b = 0, b \ne 0$
- $a = 0, b = 0$인 경우
- $0x = 0$ ⇒ 무수히 많은 해, 부정(不定)
- $a =0, b \ne0$인 경우
- $0x =b$ ⇒ 해가 없음, 불능(不能)
n원 일차연립방정식
- n원일차연립방정식: 미지수가 n개인 일차방정식들을 유한개 묶어 놓은 것
- $\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}$
- n원 일차연립방정식의 해(근)
- $\begin{cases} a_{11}S_1 + a_{12}S_2 + ... + a_{1n}S_n = b_1 \\ a_{21}S_1 + a_{22}S_2 + ... + a_{2n}S_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}S_1 + a_{m2}S_2 + ... + a_{mn}S_n = b_m \\ \end{cases}$
- 이를 만족시키는 순서조 $(S_1, S_2, ..., S_n)$를 해[근]라고 한다.
- 순서쌍은 두 개일 때 부르는 용어.
예제 1.1 3원 일차연립방정식의 해
2차 곡선: $p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2$
$\begin{matrix} p(1) = a_0 + a_1(1) + a_2(1)^2 = a_0 + \ \ a_1+ \ \ a_2 = 4 \\ p(2) = a_0 + a_1(2) + a_2(2)^2 = a_0 + 2a_1+ 4a_2 = 0 \\ p(3) = a_0 + a_1(3) + a_2(3)^2 = a_0 + 3a_1+ 9a_2 = 12 \end{matrix}$
$a_1 \rightarrow x, a_2 \rightarrow y, a_3 \rightarrow z$
$\begin{cases} x+\ \ y+\ \ z = 5 \\ x+2y+4z = 0 \\ x+3y+9z = 12 \end{cases}$
소거법
- 다음의 3가지 연산을 이용하여 주어진 연립방정식을 동일한 해집합을 가지면서 보다 풀기 쉬운 형태의 연립방정식으로 변환하는 방법
- 두 방정식을 교환한다.
- 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다.
- 한 방정식에 임의의 상수를 곱하여 다른 방정식에 더한다.
⇒ 방정식에 관한 3가지 기본 연산
예제 1.2 다음을 소거법으로 풀어라.
$\begin{matrix} 2x-y&=&-1\\x + y &=& 4 \end{matrix}$
(1) 두 방정식을 교환한다.
$\begin{matrix} x+y&=&4\\2x-y&=&-1 \end{matrix}$
(3) 임의의 상수를 곱하여 다른 방정식에 더한다.
$\begin{matrix} -2x-2y&=&-8\\2x-y&=&-1 \end{matrix}$
두 식을 더하면 $-3y = -9$, $\therefore y=3, x=1$
정답 - 순서쌍 (1, 3) : 해
또는, 처음 식에서 $y$의 계수가 부호만 다르기 때문에 두 식을 더해 줘도 된다.
$\begin{matrix} 2x-y&=&-1\\x + y &=& 4\\\\3x&=&3 \end{matrix}$
$\therefore x=1$
기하학적 설명
$\begin{matrix} y=2x+1\\y=-x+4 \end{matrix}$
예제 1.3
$\begin{matrix} 2x+2y&=&8\\x+y&=&2 \end{matrix}$
$\begin{matrix} y=-x+4\\y=-x+2 \end{matrix}$
교점이 없음 → 해를 구하지 못함 (불능)
예제 1.4
$\begin{matrix} 2x+2y&=&8\\x+y&=&4 \end{matrix}$
$\begin{matrix} y=-x+4\\y=-x+4 \end{matrix}$
방정식이 두 개인 줄 알았더니 같은 방정식이었다! → 교점이 무수히 많음 (부정)
일차연립방정식의 응용
- 화학반응식
- 유리함수의 부분 분수로 나누기
- 교차로에서의 자동차 흐름
- Curve fitting
- Linear programming
- Network analysis
- Car traffic analysis
- Electrical network analysis
정리하기
일차연립방정식
일차방정식의 해법 ax = b
- 계수, 미지수, 상수, 해(근)
- 유일한 해
- 부정
- 불능
n원 일차연립방정식
- 미지수가 n개인 일차방정식들을 유한개 묶어 놓은 것
소거법
방정식에 관한 3가지 기본 연산
- 두 방정식을 교환한다.
- 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다.
- 한 방정식에 임의의 상수를 곱하여 다른 방정식에 더한다.
기하학적인 설명
- 유일한 해, 불능, 부정
일차연립방정식의 응용
교재 예제
- 예제 1.6 : 화학반응식
- 예제 1.7 : 유리함수의 부분 분수로 나누기
- 예제 1.8 : 교차로에서의 자동차 흐름
기타
- Curve fitting
- Linear programming
- Network analysis
연습문제
다음 2원 일차연립방정식이 유일한 해를 가질 조건은?
$\begin{cases} x-2y=3\\ax+by=c \end{cases}$
$x = 2y+3$
$\begin{cases} a(2y+3)+by=c\\ 2ay+3a+by=c \end{cases}$
⇒ $(2a+b)y = c - 3a$
$ax=b$ 형태에서, $a \ne 0$이면 유일한 해를 가진다.
$\therefore (2a+b)y = c -3a$에서 $a$ 자리에 있는 $2a+b\ne0$
해당 포스트는 방송통신대학교의 '선형대수' 강의를 들으며 개인 공부 목적으로 메모하였습니다.