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학습개요

  • 일차연립방정식에 관하여 학습한다.
  • 기본적인 일차방정식의 풀이 방법을 공부한다.
  • 유일한 해를 갖는 경우, 무수히 많은 해를 갖는 경우(부정), 해를 갖지 못하는 경우(불능) 등 세 가지 경우가 있다는 점에 유의한다.
  • n원 일차연립방정식이 무엇인지 배우고, 이것을 풀기 위해 사용되는 소거법에 관해 학습한다. 소거법은 '방정식에 관한 3가지 기본 연산'을 이용한다.
  • 2원 일차연립방정식을 예로 들어, 유일한 해를 갖는 경우, 불능의 경우, 부정인 경우 각각에 대해 그래프를 이용하여 기하학적인 의미를 확인한다.
  • 일차연립방정식의 활용 예제를 배운다.

 

학습목표

  1. 간단한 일차방정식 $ax = b$가 어떤 경우에 유일한 해를 갖는지, 불능이 되는지, 부정이 되는지를 설명할 수 있다.
  2. 일차연립방정식에서 사용되는 기본 용어(계수, 미지수, 상수, 해, 부정, 불능 등)에 대해 설명할 수 있다.
  3. '방정식에 관한 3가지 기본 연산'이 무엇인지 설명할 수 있다.
  4. 간단한 1원 일차연립방정식을 풀 수 있고, 해당 방정식을 2차원 평면에 그래프로 그려 기하학적인 의미를 설명할 수 있다.

 

들어가기

맛보기 문제 (1) : 비행기 속도

서울에서 500km 떨어져 있는 곳(타슈켄트). 서울에서 갈 때는 6.5시간, 서울로 올 때는 5.0시간?

바람까지 포함한 속력을 생각해 본다.

x : 비행기 속도 - 음수가 될 수 없고
y : 바람 속도 - 비행기와 같은 방향으로 불 때는 양수, 다른 방향으로 불 때는 음수
일차연립방정식

 

$\begin{cases} 6.25(x-y) = 5000 \\ \quad\ 5(x+y) = 5000 \end{cases}$

$\begin{cases} x-y = 800 \\ x+y = 1000 \end{cases}$

두 식을 더하면 $2x = 1800$ $\therefore x = 900km/h$, $y = x - 800 = 900 - 800 = 100 km/h$

 

맛보기 문제 (2) : regression (회귀 분석)

  • Machine Learning에서 선형대수
  • Polynomial(다항식) Curve Fitting

 

평면에서 세 점 $(1, 4), (2, 0), (3, 12)$을 지나는 2차 곡선을 구하시오.

$y = ax^2 + bx + c$

$a + b + c = 4$ (1, 4를 대입)

 

세 점을 찍었을 때, 1차 직선으로 Curve Fitting하는 건 어려울 듯하다. ⇒ 2차 곡선으로!

2차 곡선 : $p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2$

$\begin{cases} p(1) = a_0 + a_1 + a_2 = 4 \\ p(2) = a_0 + 2a_1 + 4a_2 = 0 \\ p(3) = a_0 + 3a_1 + 9a_2 = 12 \end{cases}$

 ⇒ $a_0, a_1, a_2$가 미지수인 일차연립방정식을 풀면 된다.

$a_0 = 24, a_1 = -28, a_2 = 8$

$p(x) = 24 - 28x + 8x^2$

 

학습목표

다음을 설명할 수 있다.

  • 일차방정식 ax = b의 해법
  • n원 일차연립방정식
  • 일차연립방정식의 계수, 상수, 미지수, 해
  • 소거법
  • 방정식에 관한 3가지 기본 연산
  • 일차연립방정식 해의 기하학적 의미
  • 일차연립방정식의 응용 사례

 

학습내용

일차연립방정식

  • $ax = b$
    $\begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases}$
    두 식을 빼면... $2y = 2$ ⇒ $ax = b$

    $ax = b$ ⇒ $x = {{b}\over{a}}$ , $x = a^{-1}b$

 

  • $ax = b$
    • a : 계수(coefficient)
    • x : 미지수(unknown)
    • b : 상수(constant)
    • 이 방정식에 맞는 x : 해 (solution) = 근
  • $x = {b \over a}$ ⇒ 만약 $a$가 0이라면?
  • 좋은 프로그래머는 사실 초년생 프로그래머와 다를 게 없다. 문제 해결할 때는 99% 비슷하나, 예외 처리 능력이 있느냐 없느냐가 고급 프로그래머의 경험으로부터 나온다. 좋은 프로그래머가 되기 위해서는 경우의 수를 잘 생각해 봐야 한다.

 

  • $a \neq 0$인 경우
    • $a^{-1}$ 가 존재 ⇒ $a^{-1}ax = a^{-1}b$ ⇒ $x = a^{-1}b$ (유일한 해)
  • $a = 0$인 경우, $ax$는 무조건 0이 된다 ⇒ 두 가지 경우! $b = 0, b \ne 0$
  • $a = 0, b = 0$인 경우
    • $0x = 0$ ⇒ 무수히 많은 해, 부정(不定)
  • $a =0, b \ne0$인 경우
    • $0x =b$ ⇒ 해가 없음, 불능(不能)

 

n원 일차연립방정식

  • n원일차연립방정식: 미지수가 n개인 일차방정식들을 유한개 묶어 놓은 것
    • $\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}$
  • n원 일차연립방정식의 해(근)
    • $\begin{cases} a_{11}S_1 + a_{12}S_2 + ... + a_{1n}S_n = b_1 \\ a_{21}S_1 + a_{22}S_2 + ... + a_{2n}S_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}S_1 + a_{m2}S_2 + ... + a_{mn}S_n = b_m \\ \end{cases}$
    • 이를 만족시키는 순서조 $(S_1, S_2, ..., S_n)$를 해[근]라고 한다.
    • 순서쌍은 두 개일 때 부르는 용어.

 

예제 1.1 3원 일차연립방정식의 해

2차 곡선: $p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2$

$\begin{matrix} p(1) = a_0 + a_1(1) + a_2(1)^2 = a_0 + \ \ a_1+ \ \ a_2 = 4 \\ p(2) = a_0 + a_1(2) + a_2(2)^2 = a_0 + 2a_1+ 4a_2 = 0 \\ p(3) = a_0 + a_1(3) + a_2(3)^2 = a_0 + 3a_1+ 9a_2 = 12 \end{matrix}$

$a_1 \rightarrow x, a_2 \rightarrow y, a_3 \rightarrow z$

 

$\begin{cases} x+\ \ y+\ \ z = 5 \\ x+2y+4z = 0 \\ x+3y+9z = 12 \end{cases}$

 

소거법

  • 다음의 3가지 연산을 이용하여 주어진 연립방정식을 동일한 해집합을 가지면서 보다 풀기 쉬운 형태의 연립방정식으로 변환하는 방법
  1. 두 방정식을 교환한다.
  2. 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다.
  3. 한 방정식에 임의의 상수를 곱하여 다른 방정식에 더한다.

방정식에 관한 3가지 기본 연산

 

예제 1.2 다음을 소거법으로 풀어라.

$\begin{matrix} 2x-y&=&-1\\x + y &=& 4 \end{matrix}$

(1) 두 방정식을 교환한다.

$\begin{matrix} x+y&=&4\\2x-y&=&-1 \end{matrix}$

 

(3) 임의의 상수를 곱하여 다른 방정식에 더한다.

$\begin{matrix} -2x-2y&=&-8\\2x-y&=&-1 \end{matrix}$

두 식을 더하면 $-3y = -9$, $\therefore y=3, x=1$

 

정답 - 순서쌍 (1, 3) : 해

 

또는, 처음 식에서 $y$의 계수가 부호만 다르기 때문에 두 식을 더해 줘도 된다.

$\begin{matrix} 2x-y&=&-1\\x + y &=& 4\\\\3x&=&3 \end{matrix}$

$\therefore x=1$

 

기하학적 설명

$\begin{matrix} y=2x+1\\y=-x+4 \end{matrix}$

 

예제 1.3

$\begin{matrix} 2x+2y&=&8\\x+y&=&2 \end{matrix}$

$\begin{matrix} y=-x+4\\y=-x+2 \end{matrix}$

교점이 없음 → 해를 구하지 못함 (불능)

 

예제 1.4

$\begin{matrix} 2x+2y&=&8\\x+y&=&4 \end{matrix}$

$\begin{matrix} y=-x+4\\y=-x+4 \end{matrix}$

방정식이 두 개인 줄 알았더니 같은 방정식이었다! → 교점이 무수히 많음 (부정)

 

일차연립방정식의 응용

  • 화학반응식
  • 유리함수의 부분 분수로 나누기
  • 교차로에서의 자동차 흐름
  • Curve fitting
  • Linear programming
  • Network analysis
    • Car traffic analysis
    • Electrical network analysis

 

정리하기

일차연립방정식

일차방정식의 해법 ax = b

  • 계수, 미지수, 상수, 해(근)
  • 유일한 해
  • 부정
  • 불능

n원 일차연립방정식

  • 미지수가 n개인 일차방정식들을 유한개 묶어 놓은 것

 

소거법

방정식에 관한 3가지 기본 연산

  • 두 방정식을 교환한다.
  • 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다.
  • 한 방정식에 임의의 상수를 곱하여 다른 방정식에 더한다.

기하학적인 설명

  • 유일한 해, 불능, 부정

 

일차연립방정식의 응용

교재 예제

  • 예제 1.6 : 화학반응식
  • 예제 1.7 : 유리함수의 부분 분수로 나누기
  • 예제 1.8 : 교차로에서의 자동차 흐름

기타

  • Curve fitting
  • Linear programming
  • Network analysis

 

연습문제

다음 2원 일차연립방정식이 유일한 해를 가질 조건은?

$\begin{cases} x-2y=3\\ax+by=c \end{cases}$

$x = 2y+3$

 

$\begin{cases} a(2y+3)+by=c\\ 2ay+3a+by=c \end{cases}$

⇒ $(2a+b)y = c - 3a$

 

$ax=b$ 형태에서, $a \ne 0$이면 유일한 해를 가진다.

$\therefore (2a+b)y = c -3a$에서 $a$ 자리에 있는 $2a+b\ne0$

 

https://youtu.be/HewopK0YuvY

 

 

해당 포스트는 방송통신대학교의 '선형대수' 강의를 들으며 개인 공부 목적으로 메모하였습니다.

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